PDEs（偏微分方程）是用来描述物理、工程和金融中连续时空变化规律的数学方程，长期以来依赖传统数值方法求解。近年来，随着机器学习的介入，围绕 PDEs 的研究重心正从「如何用神经网络更高效地求解」转向「如何让模型与已知物理结构深度结合」，这一转变在 2025 年下半年的多篇论文中体现得尤为明显。
神经算子与 PDEs 预训练的新方向
神经算子是当前求解 PDEs 的主流深度学习框架，研究正朝着更大规模和更强结构先验发展。SPEAR 提出谱解耦的混合专家神经算子，用于大规模 PDE 预训练，试图把大模型领域的预训练范式引入方程求解。针对耗散型时间依赖方程，Inertial Manifold Neural Operator 利用惯性流形的几何性质压缩解空间，说明数学理论正被直接嵌入算子架构设计。
PDEs 求解的训练效率与数值瓶颈
训练成本和数值稳定性是神经求解器落地的实际障碍。PaPi 通过并行 Picard-Duhamel 积分加速神经谱架构训练，NEXT 则将指数时间差分方法引入物理信息神经谱架构以改善长时程精度。另一方面，Singular parameters and missing limits 指出部分神经求解器存在奇异参数与极限缺失问题，提示该领域仍需更严格的数值分析检验。
物理信息的融合方式成为争议焦点
如何注入物理知识存在路线分歧。S²-PINN 用随机可分结构改进物理信息神经网络的训练效率；有研究系统比较后发现，显式的残差约束在非线性动力学上正则化效果优于通用先验；也有工作从有缺陷的母方程中学习物理，探索先验本身不完美时的鲁棒性。此外，基于训练分布归纳偏置学习可接受假设的几何结构研究，将 PDEs 背后的假设空间本身作为学习对象。
当前焦点与观察点
综合来看，PDEs 与机器学习的结合正处于「架构创新」与「理论审视」并行的阶段：一方面，预训练化、混合专家、谱方法等大模型技术快速迁移进来；另一方面，奇异参数、极限缺失等问题表明部分方法缺乏数值层面的严格保证。值得关注的观察点包括：物理先验的注入方式（硬约束还是软先验）是否会形成共识、神经算子预训练能否复现大模型式的规模效应，以及传统数值分析能否为这些方法建立统一的收敛性与稳定性标准。